Geometric properties of metric measure spaces and Sobolev-type inequalities

Abstract

This dissertation studies analysis in metric spaces that are equipped with a doubling measure and satisfy a Poincaré inequality. The treatise consists of four articles in which we discuss geometric implications of the Poincaré inequality as well as equivalent characterizations of capacities, Sobolev inequalities and conditions for the thickness of a boundary of sets. We also study the size of exceptional sets for Newtonian functions.

Väitöskirjassa tutkitaan metrisiä avaruuksia, joissa on tuplaava mitta ja jotka kantavat Poincarén epäyhtälön. Työ koostuu neljästä artikkelista, jotka käsittelevät muun muassa Poincarén epäyhtälön geometrisia ominaisuuksia sekä yhtäpitäviä karakterisaatioita kapasiteeteille, Sobolev-tyyppisille epäyhtälöille ja joukon reunan paksuutta mittaaville ehdoille. Työssä tutkitaan myös Newtonin funktioiden epäsäännöllisten pisteiden joukon suuruutta.