On Free Boundary Problems

Abstract

Free boundary problems deal with systems of partial differential equations, where a part of the domain boundary is unknown. This thesis investigates some commonly encountered free boundary problems, the obstacle problem, the Stefan problem and the effect of surface tension on the shape of a membrane in Stokes flow. Mathematical theory behind the free boundary problems is considered, including variational inequality formulations for the obstacle and Stefan problems. In addition, numerical methods based on the finite element method and the level set method for solving free boundary problems are investigated. Finally, simulations of the Stefan problem and surface tension in Stokes flow are performed using the presented numerical methods.

Vapaan reunan ongelmat liittyvät osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemeihin, joissa osa alueen reunasta on tuntematon. Tässä työssä tarkastellaan eräitä tyypillisiä vapaan reunan ongelmia, joita ovat esteen ongelma, Stefan ongelma sekä pintajännitteen vaikutus kalvon muotoon Stokes-virtauksessa. Työssä tarkastellaan vapaan reunan ongelmien matemaattista taustaa ja teoriaa, mukaan lukien esteen ongelman ja Stefan ongelman variaatioepäyhtälömuodot. Lisäksi tarkastellaan vapaan reunan ongelmien numeeriseen ratkaisemiseen solveltuvia, elementti- ja level set -menetelmiin pohjautuvia numeerisia menetelmiä. Lopuksi esiteltyjä numeerisia menetelmiä sovelleteaan Stefan ongelman ja pintajännitteen vaikutuksen simulointiin.