Weights arising from parabolic partial differential equations

Abstract

This thesis is devoted to the study of one-sided weights and parabolic partial differential equations in the Euclidean n-space. We define a tailored maximal operator, whose weighted theory has the ideal connection to the regularity theory of parabolic partial differential equations. It can also be regarded as the multidimensional version of the one-sided maximal function.

We give a Muckenhoupt type characterization for the good weights of the parabolic forward-in-time maximal operator. This applies to both weak and strong type weighted norm inequalities. Moreover, we combine the characterization with the classical Rubio de Francia algorithm to prove a factorization result.

There is a related class of functions, those with parabolic bounded mean oscillation (parabolic BMO). We prove local-to-global results for their definition and John-Nirenberg inequality. As an application, global integrability of supersolutions to a wide class of parabolic partial differential equations is established. In addition, we give a characterization of the parabolic BMO through maximal functions of Borel measures.

Finally, we study related topics in the context of functions of bounded mean oscillation, in the classical sense as defined by John and Nirenberg. We study the relation between quasiconformal and BMO-preserving coordinate changes in the Heisenberg group. In addition, we generalize local-to-global results for a wide scale of BMO type spaces in the context of general metric measure spaces.

Väitöskirjassa tutkitaan yksipuolisia painoja ja parabolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Työssä määritellään erityinen maksimaalioperaattori, jonka painotettu teoria liittyy toivotulla tavalla parabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden säännöllisyysteoriaan. Sitä voidaan myös pitää korkeaulotteisena yleistyksenä yksipuolisesta maksimaalifunktiosta.

Parabolisen maksimaalioperaattorin kannalta hyvät painofunktiot karakterisoidaan Muckenhoupt-tyyppisillä ehdoilla. Karakterisaatio pätee sekä heikon että vahvan tyypin painotettuihin normiepäyhtälöihin. Tulosta käytetään edelleen yhdessä klassisen Rubio de Francian algoritmin kanssa parabolisten painojen tekijöihinjakotuloksen todistamiseen.

Lisäksi tutkitaan parabolista rajoitetun keskivärähtelyn luokkaa (parabolinen BMO). Siihen kuuluville funktioille todistetaan lokaalista globaaliin tuloksia liittyen sekä määritelmään että John-Nirenberg epäyhtälöön. Tulosten sovelluksena onnistutaan varmistamaan globaali integroituvuus monien parabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden superratkaisuille. Parabolinen BMO karakterisoidaan myös Borel-mittojen maksimaalifunktioiden avulla.

Viimeisenä aiheena tutkitaan kysymyksiä klassisiin Johnin ja Nirenbergin BMO-funktioihin liittyen. Erityisesti selvitetään kvasikonformisten ja BMO-funktiot säilyttävien koordinaattimuunnosten yhteyttä Heisenbergin ryhmässä. Lisäksi joukko lokaalista globaaliin tuloksia laajalle skaalalle BMO tyyppisiä avaruuksia yleistetään metrisiin mitta-avaruuksiin.