Computational Methods in Conformal and Harmonic Mappings

 |  Login

Show simple item record

dc.contributor Aalto-yliopisto fi
dc.contributor Aalto University en
dc.contributor.advisor Rasila, Antti, Senior University Lecturer, Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
dc.contributor.author Quach, Tri
dc.date.accessioned 2015-12-30T10:02:17Z
dc.date.available 2015-12-30T10:02:17Z
dc.date.issued 2015
dc.identifier.isbn 978-952-60-6614-1 (electronic)
dc.identifier.isbn 978-952-60-6613-4 (printed)
dc.identifier.issn 1799-4942 (electronic)
dc.identifier.issn 1799-4934 (printed)
dc.identifier.issn 1799-4934 (ISSN-L)
dc.identifier.uri https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/19344
dc.description.abstract Conformal geometry and the theory of harmonic mappings have a vast number of applications in engineering and physics. Conformal mappings have been used classically, e.g., in electrostatics, fluid dynamics, and potential flows, where the governing partial differential equation is Laplacian. These applications rely on the conformal invariance property of the harmonic solution of a Dirichlet problem as well as the Carathéodory boundary extension theorem. Recently conformal mappings have gained more popularity, e.g., in electrical impedance tomography and in computer graphics, where computational modelling is studied in the context of Riemann surfaces, which includes a medical application to the brain imaging of the cortex. Harmonic mappings can be used in studying minimal surfaces, which arise from many interesting phenomena in natural science and engineering, ranging from mathematical models of soap bubble surfaces, to topics in molecular engineering, and tensile structures. In this thesis a new method, conjugate function method, of constructing a conformal mappings from domains of interest onto a rectangle is developed. This algorithm makes use of the harmonic conjugate function as well as properties of modulus of quadrilaterals, and it is suitable for a very general class of domains, which may have curved boundaries and even cusps. The elaborated method is also suitable for multiply connected domains, where connectivity is greater than two. The second part of this thesis deals with the harmonic shearing method of obtaining harmonic mappings, and its application to minimal surfaces. Harmonic shearing involves integration of predetermined analytic function, which is the complex dilatation of the mapping being constructed, and a conformal mapping, which has to be convex in the direction of the real axis. This shearing can be done in numerically as well, thus, in particular, the conformal mappings do not need to be given in a closed form. en
dc.description.abstract Konformigeometrialla ja harmonisten kuvausten teorialla on lukuisia sovelluksia insinööritieteissä ja fysiikassa. Konformikuvauksia on sovellettu klassisessa mielessä mm. sähköstatiikassa, virtaustekniikassa ja potentiaalivirtauksissa, missä ilmiötä hallitseva osittaisdifferentiaaliyhtälö on Laplacen yhtälö. Sovellukset hyödyntävät konformikuvausten invariantin ominaisuuden lisäksi myös Carathéodoryn reunalaajennus lausetta. Viime aikoina konformikuvaukset ovat saaneet suosiota mm. impedanssitomografiassa ja tietokonegrafiikassa. Jälkimmäisessä tietokonemallintamista tutkitaan Riemannin pinnoilla, mikä käsittää myös lääketieteellisenä sovelluksena aivokuoren kuvauksen. Hamonisia kuvauksia on käytetty minimipintojen tutkimiseen, mitkä nousevat esille monissa luonnonilmiöissä ja insinööritieteissä saippuakuplapintojen mallintamisesta aina molekyylitekniikkaan. Väitöskirjassa kehitetään uutta tapaa, konjugaattifunktiomenetelmä, konstruoida laskennallisesti konformikuvaus tutkittavalta alueelta suorakulmiolle. Algoritmi käyttää hyväkseeen konjugaattifunktion ja nelikulmion modulin ominaisuuksia. Menetelmä on käyttökelpoinen hyvin yleisissäkin tapauksissa, joissa alue koostuu kaarevista reunoista ja sisältävät teräviä kärkiä. Yleistetty versio menetelmästä soveltuu monestiyhtenäisten alueiden kuvaamiseen. Harmonisten kuvausten puolella tutkitaan harmonista venyttämistä ja sen sovellusta minimipintoihin. Harmoninen venyttäminen on algoritmi, missä intergoidaan yli lausekkeen, joka sisältää annetun analyyttisen funktion ja konformikuvauksen. Tässä konformikuvaus tulee olla konveksi reaaliakselin suuntaan. Harmoninen venytys voidaan tehdä myös numeerisesti, tällöin erityisesti konformikuvauksen ei tarvitse olla suljetussa muodossa annettuna. fi
dc.format.extent 50 + app. 72
dc.format.mimetype application/pdf en
dc.language.iso en en
dc.publisher Aalto University en
dc.publisher Aalto-yliopisto fi
dc.relation.ispartofseries Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS en
dc.relation.ispartofseries 226/2015
dc.relation.haspart [Publication 1]: H. Hakula, T. Quach, A. Rasila. Conjugate function method for numerical conformal mappings. Journal of Computational and Applied Mathematics, 237(1), 340–353, 2013. DOI: 10.1016/j.cam.2012.06.003
dc.relation.haspart [Publication 2]: H. Hakula, T. Quach, A. Rasila. Conjugate function method and conformal mappings in multiply connected domains. arXiv:1502.02047, 2015.
dc.relation.haspart [Publication 3]: S. Ponnusamy, T. Quach, A. Rasila. Harmonic shears of slit and polygonal mappings. Applied Mathematics and Computation, 233, 588–598, 2014. DOI:10.1016/j.amc.2014.01.076
dc.relation.haspart [Publication 4]: T. Quach. Harmonic shears and numerical conformal mappings. Filomat (accepted), arXiv:1405.6759, 2015.
dc.subject.other Mathematics en
dc.title Computational Methods in Conformal and Harmonic Mappings en
dc.title Laskennalliset menetelmät konformisissa ja harmonisissa kuvauksissa fi
dc.type G5 Artikkeliväitöskirja fi
dc.contributor.school Perustieteiden korkeakoulu fi
dc.contributor.school School of Science en
dc.contributor.department Matematiikan ja systeemianalyysin laitos fi
dc.contributor.department Department of Mathematics and Systems Analysis en
dc.subject.keyword numerical conformal mappings en
dc.subject.keyword conformal invariance en
dc.subject.keyword conformal modulus en
dc.subject.keyword harmonic mappings en
dc.subject.keyword minimal surfaces en
dc.subject.keyword harmonic shearing en
dc.subject.keyword numeerinen konformikuvaus fi
dc.subject.keyword konformi-invarianssi fi
dc.subject.keyword konforminen moduli fi
dc.subject.keyword harmoninen kuvaus fi
dc.subject.keyword minimipinta fi
dc.subject.keyword harmoninen venytys fi
dc.identifier.urn URN:ISBN:978-952-60-6614-1
dc.type.dcmitype text en
dc.type.ontasot Doctoral dissertation (article-based) en
dc.type.ontasot Väitöskirja (artikkeli) fi
dc.contributor.supervisor Eirola, Timo, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland; Nevanlinna, Olavi, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
dc.opn DeLillo, Thomas K., Wichita State University, USA
dc.rev Hästö, Peter, University of Oulu, Finland
dc.rev Porter, R. Michael, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, Mexico
dc.date.defence 2016-01-15


Files in this item

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record

Search archive


Advanced Search

article-iconSubmit a publication

Browse

My Account