Number-theoretic and Geometric Lattice Code Design for Secure and Reliable Wireless Communications

Abstract

In data transmissions over wireless channels, the signal quality is weakened by random fading and noise of the electric field. This intrinsic property of the channel poses a challenge as the transmitted messages should be decodable at the receiver. On the other hand, it can be utilized for physical-layer security, in which the correct decoding probability drastically decreases when the signal quality weakens, hence securing the message from unintended receivers farther away. In this thesis, we study the design of lattices for lattice codes with an emphasis on lattice coset codes mostly in the Rayleigh fast fading channel model. Good lattice codes, i.e., solutions to the legitimate receiver's problem are known based on number-theoretic lattice constructions, whereas the design of lattice coset codes providing also physical-layer security is an open problem.

We begin with a review of basic information theory, providing existence results and performance bounds on codes. Then, we specialize in lattice codes and lattice coset codes in wireless channels, deriving probability bounds for the legitimate receiver's error probability and the eavesdropper's correct decoding probability. In terms of these bounds, algebraic lattice constructions based on field extensions perform well, and for such lattices the bounds yield number-theoretic optimization problems. We study algebraic number theory extensively in order to have the tools to construct algebraic lattices and formulate and compute the probability bounds in terms of the properties of a given field extension. Finally, we compute the number-theoretic invariants and the eavesdropper's probability bound for algebraic lattices to assess and geometrize the different number-theoretic approaches that have been suggested to predict the eavesdropper's correct decoding probability for lattice coset codes.

Langattomassa viestinnässä signaalinlaatua heikentävät sähkömagneettisten aaltojen satunnaissironta sekä taustakohina. Tämän erityispiirteen vuoksi viestinnän luotettavuuden takaaminen on langattomien kanavien perusongelma. Toisaalta sähkökentän häipymistä ja kohinaa voidaan hyödyntää fyysisen kerroksen salausmenetelmissä, joissa viestintä suunnitellaan sellaiseksi, että vastaanottajan oikean dekoodauksen todennäköisyys romahtaa signaalin laadun heikentyessä tarpeeksi. Tällöin kaukana oleva salakuuntelija ei pysty tulkitsemaan viestiä. Diplomityössä tutkitaan viestintähilojen suunnittelua hilakoodeja ja erityisesti hilojen jäännösluokkakoodeja varten pääasiassa nopeasti häipyvän Rayleigh-kanavan mallissa. Luotettavan viestinnän takaaville hilakoodeille tunnetaan lukuteoreettisia kostruktioita, kun taas myös fyysisen kerroksen salauksen takaavien hilojen jäännösluokkakoodien suunnittelu on avoin ongelma.

Diplomityö aloitetaan kertaamalla informaatioteorian perustuloksia, jotka koskevat koodien olemassaoloa ja tiedonsiirtokapasiteettia. Tämän jälkeen erikoistutaan langattoman viestinnän kanavamalleihin sekä hilakoodeihin ja jäännösluokkakoodeihin. Näissä tapauksissa johdetaan ylärajat tarkoitetun vastaanottajan virhetodennäköisyydelle sekä salakuuntelijan oikean dekoodauksen todennäköisyydelle. Todennäköisyysrajojen perusteella lukukuntalaajennuksiin perustuvat algebralliset hilat suoriutuvat hyvin, ja tällaisten hilojen suunnittelu on lukuteoreettinen ongelma. Algebrallista lukuteoriaa tutkitaan laajasti ja saadaan algebrallisten hilojen konstruktio sekä työkalut viestinnän vertailukriteerien muotoiluun ja laskentaan lukuteoreettisin keinoin. Lopuksi lasketaan lukuteoreettiset invariantit sekä salakuuntelijan todennäköisyysraja joukolle algebrallisia hiloja. Tämän perustella arvioidaan ja geometrisoidaan salakuunteluongelmaan ehdotettuja jäännösluokkakoodien lukuteoreettisia hilasuunnittelukriteerejä.