Classification of difference matrices and complex Hadamard matrices

Abstract

This dissertation gives a survey of algebraic methods for constructing generalized Hadamard matrices and for showing that generalized Hadamard matrices do not exist with the given parameters. Using these methods the existence or non-existence of generalized Hadamard matrices defined over an elementary abelian group is presented up to order 100. The main topic of this dissertation is the classification of generalized Hadamard matrices, difference matrices and Butson-type Hadamard matrices. Classification is performed by exhaustive computer search based on a general mathematical framework and computational algorithms that can be used with all types of orthogonal matrices investigated in this thesis. This computer-aided classification yields several new generalized Hadamard matrices, difference matrices and Butsontype Hadamard matrices. This thesis gives a full classification of all difference matrices and generalized Hadamard matrices with c columns defined over an abelian group of order g, where c < 20 and 3 ≤ g ≤ 7.

Tässä väitöskirjassa esitetään yhteenveto algebrallisista menetelmistä, joilla voidaan konstruoida yleistettyjä Hadamardin matriiseja, tai osoittaa, että yleistettyä Hadamardin matriisia ei voi olla olemassa annetuilla parametreilla. Näitä menetelmiä käyttäen selvitetään yleistettyjenHadamardin matriisien olemassaolo kertalukuun 100 saakka niiden matriisien osalta, jotka on määritelty elementaarisen Abelin ryhmän avulla. Tämän työn pääteema on yleistettyjen Hadamardin matriisien, erotusmatriisien ja Butson-tyypin Hadamardin matriisien luokittelu. Tämä luokittelu on tehty tietokoneella suorittamalla kattava haku tutkittavien matriisien joukossa. Työssä esitetään matemaattinen kehys ja laskennalliset algoritmit, jotka ovat luonteeltaan niin yleisiä, että ne soveltuvat kaikkien tässä työssä tutkittujen matriisien luokitteluun. Näillä laskennallisilla menetelmillä on löydetty monia uusia yleistettyjä Hadamardin matriiseja, erotusmatriiseja sekä Butson-tyypin Hadamardin matriiseja. Erotusmatriisien ja yleistettyjen Hadamardin matriisien luokittelu kattaa kaikki Abelin ryhmien avulla määritellyt matriisit, joissa on korkeintaan 19 saraketta ja ryhmän kertaluvulle g pätee 3 ≤ g ≤ 7.