# Collocation method for solving stochastic elasticity problems with an uncertain domain

 dc.contributor Aalto-yliopisto fi dc.contributor Aalto University en dc.contributor.advisor Hakula, Harri dc.contributor.author Lehtonen, Jonatan dc.date.accessioned 2015-03-06T08:25:52Z dc.date.available 2015-03-06T08:25:52Z dc.date.issued 2015-02-24 dc.identifier.uri https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/15338 dc.description.abstract In this thesis, we formulate a method for determining how quantities such as stress in an elastic body change depending on its shape. This stochastic elasticity problem has important applications in structural analysis and design, such as determining how manufacturing flaws affect the properties of an object. We assume that the shape of the object depends on some stochastic parameters, and use a combination of multivariate interpolation and conformal mappings to solve the problem. The interpolation allows us to reduce the stochastic problem to a collection of deterministic elasticity problems, which are solved by using existing finite element analysis software, and the conformal mappings are used to accommodate the varying shape of the object. A sparse grid interpolation scheme is used to diminish the curse of dimensionality related to multivariate interpolation. We define model problems involving two stochastic parameters, for both 2D and 3D objects. The implementation of the method is described in detail, and numerical results are provided for the model problems. With as few as 29 deterministic problems, we reach the point where the interpolation accuracy cannot be improved due to the inherent inaccuracy of the finite element solutions. en dc.description.abstract Tässä diplomityössä esittelemme menetelmän, jolla voidaan määrittää kuinka jännityksen tai jonkin muun suureen arvo muuttuu elastisessa kappaleessa kun sen muoto vaihtelee. Tällä stokastisella elastisuustehtävällä on tärkeitä sovelluksia rakenteiden analyysissä ja suunnittelussa; sitä käyttäen voidaan esimerkiksi määrittää valmistusvirheiden vaikutus kappaleen ominaisuuksiin. Oletamme kappaleen muodon riippuvan joistakin stokastisista parametreista, ja käytämme usean muuttujan interpolointia sekä konformikuvauksia tehtävän ratkaisemiseksi. Interpoloinnin avulla stokastinen ongelma voidaan muuntaa kokoelmaksi deterministisiä tehtäviä, jotka ratkaistaan käyttäen elementtimenetelmää; konformikuvauksien avulla käsitellään stokastisuuden aiheuttama kappaleen muodon vaihtelu. Usean muuttujan interpolointiin liittyvän dimensionaalisuuden kirouksen lievittämiseksi käytämme Smolyakin konstruktioon perustuvaa harvan hilan interpolointimenetelmää. Mallitehtävinä käytämme kahdesta stokastisesta parametrista riippuvia kappaleita, tarkastellen sekä kaksi- että kolmiulotteista tapausta. Kuvailemme menetelmän toteutuksen yksityiskohtaisesti, ja esittelemme mallitehtävien numeeriset tulokset. Menetelmä saavuttaa jo 29 deterministisen tehtävän avulla pisteen, jonka jälkeen interpolaation tarkkuutta ei enää voida parantaa elementtimenetelmälle luontaisesta epätarkkuudesta johtuen. fi dc.format.extent 58 dc.format.mimetype application/pdf en dc.language.iso en en dc.title Collocation method for solving stochastic elasticity problems with an uncertain domain en dc.title Kollokaatiomenetelmä stokastiselle elastisuustehtävälle epävarmassa alueessa fi dc.type G2 Pro gradu, diplomityö en dc.contributor.school Perustieteiden korkeakoulu fi dc.subject.keyword elasticity problem en dc.subject.keyword stochastic domain en dc.subject.keyword stochastic collocation en dc.subject.keyword Smolyak construction en dc.subject.keyword sparse grid interpolation en dc.subject.keyword conformal mapping en dc.identifier.urn URN:NBN:fi:aalto-201503062021 dc.programme.major Matematiikka fi dc.programme.mcode F3006 fi dc.type.ontasot Master's thesis en dc.type.ontasot Diplomityö fi dc.contributor.supervisor Hyvönen, Nuutti dc.programme Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma fi
﻿