Discrete Morse Theory from a Simple-Homotopy Point of View

 |  Login

Show simple item record

dc.contributor Aalto-yliopisto fi
dc.contributor Aalto University en
dc.contributor.advisor Engström, Alexander
dc.contributor.author Päkkilä, Teemu
dc.date.accessioned 2014-11-11T12:06:21Z
dc.date.available 2014-11-11T12:06:21Z
dc.date.issued 2014-11-04
dc.identifier.uri https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/14451
dc.description.abstract A simple-homotopy equivalence is a refinement of the notion of homotopy equivalence but it is still more general than the notion of homeomorphism. Geometrically simple-homotopy equivalences are generated by collapsing and expanding pairs of cells in adjacent dimensions on the boundary of a CW-complex. These simple-homotopy equivalences are detected by an algebraic invariant called Whitehead torsion. Moreover, the Whitehead torsion is related to another more computable torsion invariant named Reidemeister torsion. We investigate how these torsions are used to study the simple-homotopy type of CW-complexes. Discrete Morse theory is used to understand how CW-complexes can be simplified without changing the homotopy type. To simplify CW-complexes it uses the same elementary homotopy equivalences that generate simple-homotopy equivalences. However, we must also allow the collapses to be performed within the CW-complex. The question we answer in this thesis is whether allowing these internal collapses results to a more general notion than simple-homotopy equivalence and if so, what happens to the Whitehead torsion. It turns out that these internal collapses can always be turned into a sequence of expansions and collapses resulting to a simple-homotopy equivalence and are therefore also detected by the Whitehead torsion. en
dc.description.abstract Yksinkertainen homotopiaekvivalenssi on rajoittavampi käsite kuin homotopiaekvivalenssi, mutta kuitenkin yleisempi kuin homeomorfismi. Geometrisesti ajateltuna yksinkertaiset homotopiaekvivalenssit syntyvät poistamalla ja lisäämällä toisiinsa liitettyjä soluja pareittain CW-kompleksin reunalla. Whiteheadin torsio on algebrallinen invariantti, jonka avulla voidaan löytää yksinkertaisia homotopiaekvivalensseja. Lisäksi helpommin määritettävällä Reidemeisterin torsiolla ja Whiteheadin torsiolla on läheinen yhteys, jota käytämme esittääksemme, kuinka näitä torsioita voidaan käyttää CW-kompleksien yksinkertaisen homotopiatyypin määrittämiseen. Keskeinen tavoite diskreetissä Morse-teoriassa on ymmärtää, kuinka CW-kompleksin solurakennetta voidaan yksinkertaistaa homotopiatyyppiä muuttamatta. Tämän tavoitteen saavuttamiseen diskreetti Morse-teoria käyttää samoja alkeellisia homotopiaekvivalensseja, jotka generoivat yksinkertaiset homotopiaekvivalenssit. Tässä tapauksessa solujen poistaminen täytyy kuitenkin sallia myös CW-kompleksin sisällä. Intuitiivisesti tätä voidaan ajatella romautuksena. Tämän diplomityön päätavoite on tutkia, miten solujen poistaminen CW-kompleksin sisällä vaikuttaa yksinkertaiseen homotopiatyyppiin ja mitä tällöin tapahtuu Whiteheadin torsiolle. Osoittautuu, että CW-kompleksin sisällä tehtävät romautukset voidaan aina korvata yksinkertaisella homotopiaekvivalenssilla, joten Whiteheadin torsio havaitsee myös nämä deformaatiot. fi
dc.format.extent v+37
dc.format.mimetype application/pdf en
dc.language.iso en en
dc.title Discrete Morse Theory from a Simple-Homotopy Point of View en
dc.title Yksinkertaiset homotopiaekvivalenssit diskreetissä Morse-teoriassa fi
dc.type G2 Pro gradu, diplomityö en
dc.contributor.school Perustieteiden korkeakoulu fi
dc.subject.keyword discrete morse theory en
dc.subject.keyword simple-homotopy theory en
dc.subject.keyword lens spaces en
dc.subject.keyword reidemeister torsion en
dc.subject.keyword whitehead torsion en
dc.identifier.urn URN:NBN:fi:aalto-201411123028
dc.programme.major Matematiikka fi
dc.programme.mcode F3006 fi
dc.type.ontasot Master's thesis en
dc.type.ontasot Diplomityö fi
dc.contributor.supervisor Engström, Alexander
dc.programme Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma fi


Files in this item

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record

Search archive


Advanced Search

article-iconSubmit a publication

Browse