Real Algebraic Geometry in Additive Number Theory

Abstract

During the last decade new techniques have been developed in order to solve polynomial optimization problems that are invariant under the action of a group using semidefinite programming. In this thesis we apply these methods to additive number theory. In particular we set up a novel machinery for counting arithmetic progressions using real algebraic geometry. We prove several new results related to Szemerédi's theorem. We prove results for arithmetic progressions of length 3 that one has not been able to prove using Fourier analytic methods or ergotic theory, which are the most commonly used tools in additive number theory. Instead of trying to prove existence of arithmetic progressions we do the most natural generalization: we count them. To our knowledge we give the first results on the form "There are at least W(k,G,d) arithmetic progressions of length k in any subset S of the elements of G with |S|=|G|d.", and we discuss how our results could possibly be improved in order to give a new proof of Szemerédi's theorem using real algebraic geometry. A similar type of results are theorems on the form "There are at least R(k,G,c) monochromatic arithmetic progressions of length k in any c-coloring of the finite group G.". There are many theorems of this type for 2-colorings, and we prove several new results in this thesis. Some of the new results hold for any finite group G, including non-abelian groups, which are very difficult to analyze using Fourier analytic methods.

Under det senaste årtiondet har nya metoder utvecklats för att lösa polynoma optimeringsproblem som är invarianta under gruppverkan genom att använda semidefinit optimering. I den här avhandlingen använder vi de här metoderna för att lösa problem från additiv talteori. Mer specifikt utvecklar vi nya metoder för att räkna aritmetiska talföljder genom att använda oss av reell algebraisk geometri. Vi bevisar flera nya resultat relaterade till Szemerédis sats. Vi har nya resultat för aritmetiska talföljder av längd tre, vilka inte har bevisats med Fourier-analytiska metoder eller ergodisk teori, de mest använda metoderna i additiv talteori. Istället för att försöka visa existensen av aritmetiska talföljder så gör vi den mest naturliga generaliseringen: vi räknar dem. Så vitt vi vet ger vi de första resultaten på formen "Det finns åtminstone W(k,G,d) aritmetiska talföljder av längd k i alla olika delmängder S av elementen i den ändliga gruppen G där |S| = |G|d.". Vi diskuterar hur våra resultat eventuellt kan förbättras för att ge ett nytt bevis av Szemerédis sats baserat på reell algebraisk geometri. Liknande resultat är satser på formen "Det finns åtminstone R(k,G,c) enfärgade aritmetiska talföljder av längd k i alla olika c-färgningar av den ändliga gruppen G.". Det finns många satser av den här typen för två-färgningar, och vi bevisar flera nya resultat i den här avhandlingen. Vissa av våra resultat håller för alla olika ändliga grupper G, även för ickeabelska grupper, vilka är väldigt svåra att analysera med Fourier-analytiska metoder.