Integration in a Normal World: Fractional Brownian Motion and Beyond

Abstract

This thesis is about stochastic integration with respect to Gaussian processes that are notsemimartingales. Firstly, we study approximations of integrals with respect to fractionalBrownian motion and derive an upper bound for an average approximation error. Secondly, westudy the existence of pathwise integrals with respect to a wide class of Gaussian processes andintegrands. We prove the existence of two different notions of pathwise integrals. Moreover,these two different integrals coincide. As an application of these results, the thesis containsintegral representations for arbitrary random variables. Finally, we study a certain modelinvolving a Gaussian process and provide estimators for different parameters. We applyMalliavin calculus and divergence integrals to obtain central limit theorems for our estimators.

Tämä väitöskirja käsittelee stokastista integrointia Gaussisten prosessien suhteen,jotka eivät ole semimartingaaleja. Aluksi työssä tutkitaan approksimaatioita integraaleillefraktionaalisen Brownin liikkeen suhteen ja johdetaan yläraja keskimääräiselleapproksimaatiovirheelle. Seuraavaksi työssä tutkitaan poluttaisten integraalien olemassaoloalaajalle joukolle Gaussisia prosesseja ja integrandeja. Työssä todistetaan kahden erilaisenpoluttaisen integraalin olemassaolo. Lisäksi työssä näytetään, että nämä kaksi erilaistaintegraalia yhtyvät. Sovelluksena näistä tuloksista väitöskirjassa johdetaan integraaliesitysmielivaltaiselle satunnaismuuttujalle. Lopuksi työssä tutkitaan erästä Gaussisen prosessinsisältävää mallia ja määritellään estimaattorit mallin eri parametreille. Työssäjohdetaan keskeiset raja-arvolauseet määritellyille estimaattoreille hyödyntäen Malliavinlaskentaa ja divergenssi-integraaleja.