Fermionic Fock Spaces in Conformal Field Theory

Abstract

In this thesis, we investigate a geometric formulation of the free fermion boundary conformal field theory (BCFT). It is believed to represent the scaling limit of the two-dimensional critical planar Ising model, which is the simplest mathematical model of ferromagnetism. In the geometric formulation of Graeme Segal, bulk conformal field theory (CFT) is a functor from the category of bordered Riemann surfaces and their boundary circles to the category of Hilbert spaces and linear operators. Similarly, BCFT is a corresponding functor, except that objects of the source category are collections of unit intervals, and the morphisms are planar domains with two types of boundary components.

We propose a definition of the free fermion BCFT inspired by the transfer matrix formalism of the Ising model and compare the definition to a recent construction of the free fermion CFT. One of our main results is that the space of operators associated by the BCFT to a planar domain is isomorphic to the space of vacua of a representation of a Clifford algebra motivated by the Ising model. We also show the existence of the BCFT operators corresponding to rectangular domains of a fixed width and prove that the operators form a contractive semigroup.

To gain insight into the existence problem of the operators in the free fermion BCFT, we present a proof of the Shale-Stinespring equivalence criterion, which is used to relate the existence problem of operators in the free fermion CFT to the geometric properties of the Riemann surfaces. A similar result is also proved for the BCFT functor, but the existence problem in the BCFT case remains elusive.

Most of our results are adapted from the existing literature on the free fermion CFT to the BCFT case. One exception is the Shale-Stinespring equivalence criterion whose proof is a slightly streamlined version of an existing proof.

Diplomityössä tarkastellaan geometrista muotoilua vapaalle fermioniselle reunakonformikenttäteorialle, jonka uskotaan kuvaavan kaksiulotteisen Isingin mallin skaalausrajaa kriittisessä lämpötilassa. Isingin malli on yksinkertaisin matemaattinen malli ferromagnetismille, ja Graeme Segalin geometrisessa muotoilussa tavallinen konformikenttäteoria on funktori reunallisten Riemannin pintojen ja näiden reunaympyröiden kategoriasta Hilbertin avaruuksien ja lineaarikuvauksien kategoriaan. Reunakonformikenttäteoria on vastaava funktori sillä erotuksella, että lähtökategorian objektit ovat yksikkövälien kokoelmia ja morfismit ovat tasoalueita, joilla on kahdentyyppisiä reunakomponentteja.

Diplomityössä esitetään Isingin mallin siirtomatriisimuotoilun inspiroima määritelmä vapaalle fermioniselle reunakonformikenttäteorialle, ja määritelmää verrataan hiljattain julkaistuun määritelmään tavalliselle vapaalle fermioniselle konformikenttäteorialle. Yksi työn päätuloksista on se, että reunakonformikenttäteorian tasoalueeseen liittämien operaattorien avaruus on isomorfinen Isingin mallin motivoiman Cliffordin algebran esityksen tyhjiövektoreiden avaruuden kanssa. Työssä näytetään myös kiinnitetyn levyisiin suorakaiteisiin liittyvien operaattorien olemassaolo ja osoitetaan että nämä muodostavat kontraktiivisen puoliryhmän.

Reunakonformikenttäteorian operaattorien olemassaolokysymyksen tutkimiseksi työssä esitetään Shalen-Stinespringin ekvivalenssilause, jonka avulla operaattorien olemassaolokysymys voidaan liittää Riemannin pintojen geometriaan tavallisen konformikenttäteorian tapauksessa. Vastaava tulos todistetaan myös reunakonformikenttäteorialle, mutta tästä huolimatta reunakonformikenttäteorian olemassaolokysymys pysyy avoimena.

Työn tulokset ovat pääosin kirjallisuudessa esiintyvien tavallista konformikenttäteoriaa koskevien tulosten sovelluksia reunakonformikenttäteoriaan. Poikkeuksena tähän on Shalen-Stinespringin ekvivalenssilause, jonka todistus on hieman yksinkertaistettu versio kirjallisuudessa esiintyvästä todistuksesta.