Loop O(n) models: a numerical transfer matrix study of long range order and s-holomorphicity

Abstract

This work studies O(n) models, which are classical spin hamiltonians defined in a two-dimensional lattice. From the O(n) models, it is possible to derive O(n) loop models. For these, it is possible to express expectation values of observables as sums of graphs in the lattice.

At the critical points, at the continuum limit, some of these models are expected converge to conformally invariant models. Then the expectation values would be holomorphic functions of the space variable. It is expected that there are loop O(n) models in finite lattices, that have related properties. Such properties may be discrete holomorphicity and s-holomorphicity.

I study these questions numerically, with transfer matrices. I first construct the transfer matrices for the loop O(n) models in the hexagonal lattice, for its partition function and the expectation value of the parafermionic observable.

I use the partition function transfer matrix in the numerical study of long range order. This gives a new way of understanding the results of the renormalization group studies on the O(n) models.

I use the transfer matrices for parafermions in the numerical study of s-holomorphicity, which is expected to be a sufficient property for the convergence of expectation values of the parafermionic observable. The numerical transfer matrix approach gives meaningful results, for which parameter values $n,K$ the s-holomorphicity would be possible.

Tämä työ käsittelee O(n)-malleja, jotka ovat kaksiulotteisissa hiloissa määriteltyjä klassisia spin-malleja (Hamiltonin funktioita). O(n)-mallista voidaan johtaa O(n)-rengasmalli. O(n)-rengasmallien observaabelien odotusarvot voidaan esittää graafisesti, renkaiden ja polkujen summana hilassa.

Kriittisissä pisteissä ja hilavakion lähestyessä nollaa, näiden mallien uskotaan lähestyvän konformi-invariantteja malleja. Tällöin observaabelien odotusarvot ovat paikkamuuttujan holomorfisia funktioita. On arveltu, että äärellisen hilan O(n)-rengasmalleilla on vastaavia diskreettejä rakenteita, kuten diskreetti holomorfisuus ja s-holomorfisuus.

Näitä asiota tutkitaan numeerisesti, siirtomatriisien avulla. Korrelaatiofunktioiden laskeminen vahvistaa renormalisaatioryhmän avulla saadut tulokset, mutta antaa myös uuden lähestymistavan.

Myös s-holomorfisuuden ja konvergenssin tutkiminen numeerisesti siirtomatriisien avulla antaa järkeviä tuloksia.