Eräs hp-adaptiivinen elementtimenetelmä kuoriyhtälöille

Abstract

In this work solving of shell equations by an hp-adaptive finite element method (FEM) is studied. Shells are thin objects of curved mid-surface. Thickness of a shell is assumed to be notably smaller than its other dimensions, for example the diameter of the object. Mathematically shells can be considered as two-dimensional objects, and in dimension reduced models equations are written on the mid-surface of the object. Solution of the shell equations contains various boundary and internal layer components in addition to global length scales. Locking and large condition number of a system can cause problems as well, when equations are solved numerically.

Shell equation are solved numerically by FEM. Accuracy of a solution is improved in stages by an adaptive method, in which it is possible to refine the mesh and raise or lower the degree of an element. In addition to usual error indicator, an hp-indicator is required to decide whether an element is split or polynomial degree is changed. In this work the smoothness of the solution is estimated by a method based on the Sobolev-regularity of a function. The smoother the solution is the higher degree of polynomial can be used.

In dimension reduced models the elastic energy of the shell consists mainly of bending and membrane energy. In some shell models like Reissner-Naghdi, which is in use here, also shear energy is involved. However its contribution to the total energy is usually very small. Especially bending dominated cases include a risk of numerical locking. Locking appears when discrete variation space is too small and best approximate solution is just too far from the accurate solution. The best way to prevent locking is to use sufficient high order elements globally. In this work also a method to detect the risk of locking is studied. In that method the problem is solved by minimal amount of elements and different polynomial degrees. This way it is quite reliable to decide whether the problem is bending or membrane dominated.

In numerical experiments the hp-adaptive FEM works quite well in sense of deciding element and polynomial degree distributions. In the areas of different layers, the degree of polynomial is not raised too much until the mesh is dense enough. Problems due to locking and large condition number appear clearly in bending dominated case. In calculations locking prevention schemes, such as setting a lower bound for polynomial degree, have not been used.

Tässä työssä tarkastellaan kuorirakenteisiin liittyvien elastisten ongelmien numeerista ratkaisemista hp-adaptiivisella elementtimenetelmällä. Yleisesti kuoret ovat ohuita kaarevapintaisia kappaleita, ja kuorimallit ovatkin yleensä redusoitu kaksiulotteisiksi. Tässä käsitellään pyörähdyssymmetrisiä kuoria, mikä ei kuitenkaan vähennä tarkastelun yleisyyttä esiintyvien ilmiöiden osalta. Kuoriyhtälöiden ratkaisut ovat yleisesti hyvin monimuotoisia, eli ratkaisuissa esiintyy monenlaisia reunahäiriökomponentteja globaalien ratkaisukomponenttien lisäksi. Myös lukkiutuminen ja numeerisen systeemin häiriöalttius voivat aiheuttaa ongelmia tehtävää ratkaistaessa.

Kuoriyhtälöitä ratkaistaan numeerisesti elementtimenetelmällä. Ilmiöiden monimuotoisuudesta johtuen, ratkaisun tarkkuutta halutaan parantaa vaiheittain hp-adaptiivisella menetelmällä, jossa on mahdollista joko tihentää verkkoa tai muuttaa astelukua. Tavanomaisen adaptiivisen menetelmän vaatiman virheindikaattorin lisäksi tarvitaan myös hp-indikaattori, jonka perusteella tehdään valinta tihentämisen ja asteluvun muuttamisen välillä. Tässä tarkastellaan funktion Sobolev-säännöllisyyteen perustuvaa elementtikohtaista sileyden arviointia. Yleisesti mitä sileämpi ratkaisu on, sitä korkeampaa astelukua voidaan käyttää.

Redusoiduissa malleissa kuoren kokonaisenergia koostuu pääosin taipuma- ja venymäenergiasta. Tässä käytetään Reisner-Naghdin mallia, jossa esiintyy myös leikkausenergia. Erityisesti taipumatiloihin liittyy lukkiutumisen mahdollisuus. Lukkiutumista esiintyy, kun diskreetti ratkaisuavaruus on liian kaukana oikeasta ratkaisusta, jolloin numeerisen ratkaisun virhe on suhteettoman suuri. Lukkiutumista ei kuitenkaan ole välttämättä edes helppo huomata pelkästään ratkaisemalla tehtävää. Paras tapa ehkäistä ilmiö on asettaa numeerinen ratkaisuavaruus käyttäen riittävän korkea-asteisia elementtejä. Työssä tarkastellaan myös menetelmää lukkiutumisen tunnistamiseksi. Siinä tehtävää ratkaistaan minimaalisella määrällä elementtejä ja usealla eri asteluvulla. Tällaisessa menetelmässä työmäärä ei ole kovin suuri, mutta sillä saadaan kuitenkin selville, onko tehtävän ratkaisu taipuma- vai kalvodominoitu.

Esimerkkitapauksissa hp-adaptiivinen menetelmä toimii melko hyvin verkon tihentämisen ja asteluvun jakautumisen kannalta. Asteluvun nostaminen alkaa reunahäiriöiden alueella vasta kun verkkoa on sopivasti tihennetty. Lukkiutumisesta ja häiriöalttiudesta johtuvat ongelmat tulevat esiin taipumadominoidussa tehtävässä. Laskennassa ei ole varsinaisesti kiinnitetty huomiota lukkiutumisen estämiseen, vaikka se olisi suhteellisen helppoa rajoittamalla astelukua alhaalta päin.